Wzory matematyczne dla szkoły podstawowej – ściągawka klasy 4–8

Pola i obwody figur płaskich · klasy 4–8

Prostokąt – pole: $P = a \cdot b$ a, b – długości sąsiednich boków
Prostokąt – obwód: $Ob = 2a + 2b$
Kwadrat – pole: $P = a^2$ a – długość boku
Kwadrat – obwód: $Ob = 4a$
Trójkąt – pole: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ a – podstawa, h – wysokość opuszczona na tę podstawę
Równoległobok – pole: $P = a \cdot h$ a – podstawa, h – wysokość
Romb – pole: $P = a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ e, f – przekątne rombu
Deltoid – pole: $P = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ e, f – przekątne deltoidu
Trapez – pole: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ a, b – podstawy, h – wysokość
Koło – pole: $P = \pi r^2$ r – promień, π ≈ 3,14
Okrąg – długość: $Ob = 2 \pi r$ r – promień

Prostopadłościan – objętość: $V = a \cdot b \cdot c$ a, b, c – długości krawędzi
Prostopadłościan – pole powierzchni: $P_c = 2(ab + bc + ac)$
Prostopadłościan – suma długości krawędzi: $4(a + b + c)$
Sześcian – objętość: $V = a^3$ a – długość krawędzi
Sześcian – pole powierzchni: $P_c = 6a^2$
Sześcian – suma długości krawędzi: $12a$
Graniastosłup – objętość: $V = P_p \cdot H$ P_p – pole podstawy, H – wysokość
Graniastosłup – pole powierzchni: $P_c = 2P_p + P_b$ P_b – pole powierzchni bocznej
Graniastosłup prosty – pole powierzchni bocznej: $P_b = Ob_p \cdot H$ Ob_p – obwód podstawy, H – wysokość
Ostrosłup – objętość: $V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H$
Ostrosłup – pole powierzchni: $P_c = P_p + P_b$

Suma kątów trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$
Suma kątów czworokąta: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego: $\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ n – liczba boków
Kąty przyległe: $\alpha + \beta = 180^\circ$

Dzielenie z resztą: $a = b \cdot q + r, \quad 0 \le r < b$ q – iloraz, r – reszta
Średnia arytmetyczna: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$
Procent liczby: $p\% \text{ z } a = \frac{p}{100} \cdot a$
Jakim procentem liczby b jest liczba a?: $\frac{a}{b} \cdot 100\%$
Cena po podwyżce o p%: $c \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$
Cena po obniżce o p%: $c \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)$
Skala mapy: $\text{skala} = \frac{\text{odległość na mapie}}{\text{odległość w terenie}}$ np. skala 1 : 100 000 – 1 cm na mapie to 1 km w terenie

Mnożenie potęg o tej samej podstawie: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Dzielenie potęg o tej samej podstawie: $a^m : a^n = a^{m-n}$
Potęga potęgi: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
Potęga iloczynu: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
Potęga o wykładniku ujemnym: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ a ≠ 0
Potęga o wykładniku zero: $a^0 = 1$ a ≠ 0
Pierwiastek z iloczynu: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ a, b ≥ 0
Pierwiastek z ilorazu: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ a ≥ 0, b > 0
Kwadrat pierwiastka: $(\sqrt{a})^2 = a$ a ≥ 0
Notacja wykładnicza: $a \cdot 10^n$ 1 ≤ a < 10, n – liczba całkowita

Kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Kwadrat różnicy: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Różnica kwadratów: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Równanie pierwszego stopnia: $ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$ a ≠ 0
Proporcjonalność prosta: $y = k \cdot x$ k – współczynnik proporcjonalności
Proporcjonalność odwrotna: $y = \frac{k}{x}$ x ≠ 0

Pole wycinka koła: $P = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ α – kąt środkowy wycinka, r – promień
Długość łuku okręgu: $l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2 \pi r$ α – kąt środkowy, na którym oparty jest łuk
Kąt wpisany i kąt środkowy: $\alpha = \frac{1}{2}\beta$ kąt wpisany α jest równy połowie kąta środkowego β opartego na tym samym łuku
Kąt wpisany oparty na półokręgu: $\alpha = 90^\circ$ kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe

Twierdzenie Talesa: $\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OC|}{|OD|}$ O – punkt przecięcia ramion kąta, proste AC i BD są równoległe
Skala podobieństwa: $k = \frac{|A'B'|}{|AB|}$ k > 1 – powiększenie, k < 1 – pomniejszenie
Pole figur podobnych: $\frac{P'}{P} = k^2$ stosunek pól jest kwadratem skali podobieństwa
Cecha podobieństwa bok-bok-bok: $\frac{|A'B'|}{|AB|} = \frac{|B'C'|}{|BC|} = \frac{|A'C'|}{|AC|}$ trójkąty o proporcjonalnych bokach są podobne
Cecha podobieństwa kąt-kąt: $\alpha = \alpha', \quad \beta = \beta'$ dwie pary równych kątów wystarczą, trzeci kąt wynika z sumy 180°
Cecha przystawania bok-bok-bok: $|AB| = |A'B'|, \quad |BC| = |B'C'|, \quad |AC| = |A'C'|$ trzy pary równych boków
Cecha przystawania bok-kąt-bok: $|AB| = |A'B'|, \quad |AC| = |A'C'|, \quad \alpha = \alpha'$ dwie pary równych boków i równy kąt między nimi
Cecha przystawania kąt-bok-kąt: $\alpha = \alpha', \quad |AB| = |A'B'|, \quad \beta = \beta'$ równy bok i dwa równe kąty do niego przyległe

Twierdzenie Pitagorasa: $a^2 + b^2 = c^2$ a, b – przyprostokątne, c – przeciwprostokątna
Przekątna kwadratu: $d = a\sqrt{2}$ a – bok kwadratu
Wysokość trójkąta równobocznego: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ a – bok
Pole trójkąta równobocznego: $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°: $a : a\sqrt{3} : 2a$ boki leżą naprzeciw kątów 30°, 60°, 90°
Trójkąt prostokątny równoramienny: $a : a : a\sqrt{2}$
Warunek istnienia trójkąta: $a + b > c$ suma dwóch boków jest większa od trzeciego

Mediana (nieparzysta liczba danych): $\text{środkowa wartość po uporządkowaniu}$
Mediana (parzysta liczba danych): $\frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}$ średnia dwóch środkowych wartości
Prawdopodobieństwo zdarzenia: $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ |A| – liczba zdarzeń sprzyjających, |Ω| – liczba wszystkich zdarzeń
Dominanta: $\text{wartość występująca najczęściej}$
Zakres prawdopodobieństwa: $0 \le P(A) \le 1$ 0 – zdarzenie niemożliwe, 1 – zdarzenie pewne
Zdarzenie przeciwne: $P(A') = 1 - P(A)$
Reguła mnożenia: $m \cdot n$ m sposobów pierwszego wyboru i n sposobów drugiego